Հասմիկ Մելքոնյանի ուսումնական բլոգ

Մաս I. Հանրահաշիվ

1. Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը.

(3/4 − 1/2) · 8 + √49 − 2³

1

2. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

3(2x − 5) − 2(3x − 4) + 7

0

3. Արտահայտությունը վերլուծե՛ք արտադրիչների.

x² − 7x + 12

(x-3)(x-4)

4. Լուծե՛ք հավասարումը.

5(2x − 1) − 3(x + 2) = 2x + 8

3.8

5. Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը.

2x² − 7x + 3 = 0

0.5. 3

6. Լուծե՛ք անհավասարումը.

3(2x − 1) ≤ 4x + 7

7. Լուծե՛ք համակարգը.

x + y = 7

2x − y = 5

(4, 3)

8. Գտե՛ք ֆունկցիայի զրոն.

f(x) = x² − 5x + 6

9. Գտե՛ք f(x) = 3x − 8 ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան։

10. Ապրանքի գինը նախ բարձրացրին 20%-ով, ապա իջեցրին 20%-ով։ Քանի՞ տոկոսով փոխվեց ապրանքի սկզբնական գինը։

Պակասեց 4%-ով

Մաս II. Երկրաչափություն

11. Եռանկյան երկու անկյունները 48° և 67° են։ Գտե՛ք երրորդ անկյունը։

65°

12. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունը 70° է։ Գտե՛ք գագաթային անկյունը։

40°

13. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 6 սմ և 8 սմ են։ Գտե՛ք ներքնաձիգը։

10սմ

14. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13 սմ է, իսկ էջերից մեկը՝ 5 սմ։ Գտե՛ք մյուս էջը։

12սմ

15. Եռանկյան կողմերն են 7 սմ, 8 սմ և 9 սմ։ Գտե՛ք նրա պարագիծը։

24սմ

16. Ուղղանկյան երկարությունը 12 սմ է, իսկ լայնությունը՝ 5 սմ։ Գտե՛ք ուղղանկյան պարագիծը և մակերեսը։

34, 60

17. Շեղանկյան անկյունագծերը 10 սմ և 24 սմ են։ Գտե՛ք նրա մակերեսը։

120

18. Շրջանագծի շառավիղը 6 սմ է։ Գտե՛ք շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը։

12n սմ, 36n սմ²

19. Սեղանի հիմքերը 8 սմ և 14 սմ են, իսկ բարձրությունը՝ 5 սմ։ Գտե՛ք սեղանի մակերեսը։

55սմ²

20. Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 13 սմ է, իսկ հիմքը՝ 10 սմ։ Գտե՛ք եռանկյան բարձրությունը, տարված հիմքին

12 սմ

Հոկտեմբերի 27-ին մեր դասընկերներով և ուսուցչուհիների հետ կազմակերպված ճամփորդության շրջանակում այցելեցինք Արարատի մարզ։ Մեր նպատակն էր տեսնել Հրեշտակների ձորն ու բացահայտել այդ վայրի բնական գեղեցկությունը։ Առավոտյան սկսեցինք մեր քայլարշավը։ Ճանապարհին կանգ առանք Վեդի գետի մոտ գտնվող աղբյուրի մոտ, որտեղից արդեն նշմարվում էին կիրճի գունավոր ժայռերը։ Շարունակեցինք մեր ճանապարհը՝ զրուցելով, կատակելով և վայելելով աշնանային բնությունը։ Հրեշտակների ձոր հասնելուն պես մեզ ապշեցրեց ժայռերի յուրօրինակ տեսքը։ Կարմիր, դեղին ու վարդագույն երանգները, որոնք միախառնվում էին իրար, կիրճը դարձնում էին առանձնահատուկ։ Որոշ ժամանակ անցկացրինք այնտեղ՝ հանգստանալով, սնվելով և լուսանկարվելով։ Այնուհետև ուղևորվեցինք դեպի Տափի բերդ։ Չնայած այն տարբերվում էր մեր նախորդ այցելած վայրից, այստեղ նույնպես գեղեցիկ տեսարաններ էին բացվում։ Հին բերդի քարերն ու շրջակա լեռները յուրահատուկ մթնոլորտ էին ստեղծում։ Վայելելով այդ պահերը՝ ավարտեցինք մեր ճամփորդությունն ու վերադարձանք Երևան։

Օրվա ընթացքում անցանք շուրջ 11 կմ։ Այս ուղևորությունը ոչ միայն հնարավորություն տվեց մեզ հանգստանալու և ընկերների հետ ժամանակ անցկացնելու, այլև ավելի մոտիկից ճանաչելու մեր հայրենիքի գեղեցկությունը։ Չնայած ես եղել էի հրեշտակների ձորում արդեն մի քանի անգամ, ես համոզվեցի, որ մեր Հայկական բնությունն այնքան գեղեցիկ է, որ ամեն անգամ կարելի է գալ և հիանալ ինչպես առաջին անգամ։

1. Տարածության մեջ երկու ուղիղներ ունեն մեկ ընդհանուր կետ։ Ի՞նչ փոխդասավորություն ունեն այդ ուղիղները։
Հատվող ուղիղներ են:

2. Երկու ուղիղներ գտնվում են միևնույն հարթության մեջ և չունեն ընդհանուր կետ։ Ի՞նչ փոխդասավորություն ունեն դրանք։
Զուգահեռ ուղիղներ են:

3. Տարածության մեջ երկու ուղիղներ չեն հատվում և միևնույն հարթության մեջ չեն գտնվում։ Ի՞նչ փոխդասավորություն ունեն դրանք։
Խաչվող ուղիղներ են:

4. a և b ուղիղները հատվում են O կետում։ Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն այդ ուղիղները։
Մեկ ընդհանուր կետ (O-ն):

5, a և b ուղիղները զուգահեռ են։ Կարո՞ղ են դրանք ունենալ ընդհանուր կետ։
Ոչ, քանի որ զուգահեռ ուղիղներն ընդհանուր կետ չունեն:

6. Բերե՛ք տարածության մեջ խաչվող երկու ուղիղների օրինակ։
Սենյակի հատակի տրված կողմով անցնող ուղիղը և առաստաղի՝ դրան ոչ զուգահեռ կողմով անցնող ուղիղը:

7. ABCD քառակուսու AB և CD ուղիղներն ինչպիսի՞ փոխդասավորություն ունեն։
Զուգահեռ են:

8. ABC եռանկյան AB և AC կողմերը պարունակող ուղիղներն ինչպիսի՞ փոխդասավորություն ունեն։
Հատվող են A կետում:

9. ABCD քառակուսու AB և CD ուղիղներն ինչպիսի՞ փոխդասավորություն ունեն։ Իսկ AB և BC ուղիղնե՞րը։
(AB)-ն և (CD)-ն զուգահեռ են, իսկ (AB)-ն և (BC)-ն՝ հատվող:

10. ABCD, A¹B¹C¹D¹ խորանարդում որոշե՛ք AB և CC1 ուղիղների փոխդասավորությունը։
Խաչվող են:

11. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և A1B1 ուղիղների փոխդասավորությունը։
Զուգահեռ են:

12. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և BC ուղիղների փոխդասավորությունը։
Հատվող են (\(B\) կետում):

13. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և DD1 ուղիղների փոխդասավորությունը։
Խաչվող են:

14. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և C1D1 ուղիղների փոխդասավորությունը։
Զուգահեռ են (քանի որ երկուսն էլ զուգահեռ են \(CD\)-ին):

15. Տարածության մեջ a և b ուղիղները չեն հատվում։ Կարելի՞ է պնդել, որ դրանք զուգահեռ են։ Հիմնավորե՛ք պատասխանը։
Ոչ, դրանք կարող են լինել նաև խաչվող, եթե չեն գտնվում նույն հարթության մեջ:

16. a և b ուղիղները զուգահեռ են, իսկ b և c ուղիղները հատվում են։ Կարելի՞ է եզրակացնել, որ a և c ուղիղները նույնպես հատվում են։ Հիմնավորե՛ք պատասխանը։
Ոչ, (a) և (c) ուղիղները կարող են լինել նաև խաչվող:

17. ABCDA1B1C1D1 խորանարդում որոշե՛ք AB և B1C1 ուղիղների փոխդասավորությունը։
Խաչվող են:

18. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AC և BB1 ուղիղների փոխդասավորությունը։
Խաչվող են:

19. Նույն խորանարդում թվարկե՛ք AB ուղղին զուգահեռ երեք ուղիղ, եթե այդպիսիք կան։

A¹B¹, CD, C¹D¹

20. Նույն խորանարդում գտե՛ք AB ուղղին խաչվող երեք ուղիղ և հիմնավորե՛ք ձեր ընտրությունը։

Առաջադրանքներ

1. Տարածության մեջ երկու ուղիղներ ունեն մեկ ընդհանուր կետ։ Ի՞նչ փոխդասավորություն ունեն այդ ուղիղները։

Պատասխան՝ հատվող ուղիղներ։

2. Երկու ուղիղներ գտնվում են միևնույն հարթության մեջ և չունեն ընդհանուր կետ։ Ի՞նչ փոխդասավորություն ունեն դրանք։

Պատասխան՝ զուգահեռ ուղիղներ։

3. Տարածության մեջ երկու ուղիղներ չեն հատվում և միևնույն հարթության մեջ չեն գտնվում։ Ի՞նչ փոխդասավորություն ունեն դրանք։

Պատասխան՝ խաչվող ուղիղներ։

4. a և b ուղիղները հատվում են O կետում։ Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն այդ ուղիղները։

Պատասխան՝ մեկ ընդհանուր կետ՝ O-ն։

5. a և b ուղիղները զուգահեռ են։ Կարո՞ղ են դրանք ունենալ ընդհանուր կետ։

Պատասխան՝ ոչ, զուգահեռ ուղիղները ընդհանուր կետ չունեն։

6. Բերե՛ք տարածության մեջ խաչվող երկու ուղիղների օրինակ։

Պատասխան՝ Խորանաարդ

7. ABCD քառակուսու AB և CD ուղիղներն ինչպիսի՞ փոխդասավորություն ունեն։

Պատասխան՝ զուգահեռ են։

8. ABC եռանկյան AB և AC կողմերը պարունակող ուղիղներն ինչպիսի՞ փոխդասավորություն ունեն։

Պատասխան՝ հատվող են, քանի որ ունեն ընդհանուր կետ։

9. ABCD քառակուսու AB և CD ուղիղներն ինչպիսի՞ փոխդասավորություն ունեն։ Իսկ AB և BC ուղիղնե՞րը։

Պատասխան՝ AB և CD ուղիղները զուգահեռ են, իսկ AB և BC ուղիղները՝ հատվող։

10. ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդում որոշե՛ք AB և CC₁ ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ խաչվող են։

11. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և A₁B₁ ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ զուգահեռ են։

12. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և BC ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ հատվող են, քանի որ ունեն ընդհանուր կետը։

13. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և DD₁ ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ խաչվող են։

14. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AB և C₁D₁ ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ զուգահեռ են։

15. Տարածության մեջ a և b ուղիղները չեն հատվում։ Կարելի՞ է պնդել, որ դրանք զուգահեռ են։ Հիմնավորե՛ք պատասխանը։

Պատասխան՝ ոչ։ Տարածության մեջ երկու ուղիղներ կարող են չհատվել, բայց չլինել զուգահեռ։ Այդպիսի ուղիղները խաչվող են։

16. a և b ուղիղները զուգահեռ են, իսկ b և c ուղիղները հատվում են։ Կարելի՞ է եզրակացնել, որ a և c ուղիղները նույնպես հատվում են։ Հիմնավորե՛ք պատասխանը։

Պատասխան՝ ոչ։ և ուղիղները կարող են հատվել կամ խաչվել։ Հետևաբար, միայն տրված պայմաններից չի կարելի եզրակացնել, որ դրանք հատվում են։

17. ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդում որոշե՛ք AB և B₁C₁ ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ խաչվող են։

18. Նույն խորանարդում որոշե՛ք AC և BB₁ ուղիղների փոխդասավորությունը։

Պատասխան՝ խաչվող են։

19. Նույն խորանարդում թվարկե՛ք AB ուղղին զուգահեռ երեք ուղիղ, եթե այդպիսիք կան։

Պատասխան՝ , , ուղիղները։

20. Նույն խորանարդում գտե՛ք AB ուղղին խաչվող երեք ուղիղ և հիմնավորե՛ք ձեր ընտրությունը։

Պատասխան՝ , , ուղիղները։ Դրանք չեն հատում ուղիղը և նրա հետ միևնույն հարթության մեջ չեն գտնվում։

1. Անվանի՛ր երկու ուղիղների փոխդասավորության երեք հիմնական դեպքերը։

Հատվող, զուգահեռ, խաչվող

2. Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն երկու հատվող ուղիղները։

Մեկ

3. Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն երկու զուգահեռ ուղիղները։

Ոչ մի

4. Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն երկու խաչվող ուղիղները։

Ոչ մի

5. Ճի՞շտ է արդյոք պնդումը. եթե երկու ուղիղներ ունեն մեկ ընդհանուր կետ, ապա դրանք զուգահեռ են։ Պատասխանդ հիմնավորի՛ր։

Սխալ է, զուգահեռ ուղիղները չունեն մեկ ընդհանուր կետ:

6. Երկու ուղիղների հատումից առաջացած անկյուններից մեկը 40∘ է։ Գտի՛ր մյուս երեք անկյունները։

40, 40, 140, 140

7. Երկու ուղիղների հատումից առաջացած անկյուններից մեկը 125∘ է։ Գտի՛ր մնացած երեք անկյունները։

125°, 55°, 55°

8. Երկու կից անկյուններից մեկը մյուսից 30∘-ով մեծ է։ Գտի՛ր այդ անկյունները։

75° և 105°

9. Երկու ուղիղների հատումից առաջացած հակադիր անկյունները նշանակված են 3x+10∘ և 5x−30∘։ Գտի՛ր x-ը և անկյունների չափերը։

Պատասխան՝ x = 20, անկյունները՝ 70° և 70°

10. Երկու կից անկյունները հարաբերում են ինչպես 2:7։ Գտի՛ր այդ անկյունները։

40° և 140°

11. a∥b։ Երրորդ ուղիղը հատում է այդ ուղիղները։ Եթե համապատասխան անկյուններից մեկը 65∘ է, որքա՞ն է մյուս համապատասխան անկյունը։

Զուգահեռ ուղիղները երրորդով հատելիս համապատասխան անկյունները հավասար են: Մյուս անկյունը նույնպես 65° է:

12. Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատվում են երրորդ ուղիղով։ Խաչադիր ներքին անկյուններից մեկը 112∘ է։ Գտի՛ր մյուս խաչադիր ներքին անկյունը։

Խաչադիր ներքին անկյունները հավասար են: Մյուս անկյունը նույնպես 112° է:

13. Երկու ուղիղների հատումից առաջացած միակողմանի ներքին անկյուններից մեկը 75∘ է։ Որքա՞ն պետք է լինի մյուսը, որպեսզի ուղիղները զուգահեռ լինեն։

Ուղիղների զուգահեռության համար միակողմանի անկյունների գումարը պետք է լինի 180°: Մյուս անկյունը պետք է լինի՝ \(180^\circ — 75^\circ =\) 105°:

14. Երկու ուղիղներ հատվում են 90∘ անկյան տակ։ Ինչպե՞ս են կոչվում այդ ուղիղները։

Այդպիսի ուղիղները կոչվում են ուղղահայաց ուղիղներ:

15. a⊥b, իսկ c∥a։ Ի՞նչ դիրք ունեն b և c ուղիղները։ Հիմնավորի՛ր պատասխանդ։

Ըստ թեորեմի՝ եթե երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը ((a)-ն) ուղղահայաց է երրորդ ուղղին ((b)-ին), ապա մյուս ուղիղը ((c)-ն) նույնպես ուղղահայաց է այդ երրորդ ուղղին ((b)-ին):

16. Երկու կից անկյուններից մեկը 4x+20∘ է, մյուսը՝ 2x+40∘։ Գտի՛ր x-ը և անկյունների չափերը։

(x = 20), անկյունները՝ 100° և 80°

17. Երկու ուղիղների հատումից առաջացած հակադիր անկյունները 7x−15∘ և 4x+30∘ են։ Գտի՛ր x-ը և այդ անկյունների չափերը։

(x = 15), անկյունները՝ 90° և 90°

18. Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատվում են երրորդ ուղիղով։ Միակողմանի ներքին անկյունները հավասար են 3x+15∘ և 5x+5∘։ Գտի՛ր xx-ը և անկյունների չափերը։

(x = 20), անկյունները՝ 75° և 105°

19. Երկու ուղիղների հատումից առաջացած անկյուններից մեկը մյուսից երեք անգամ մեծ է։ Գտի՛ր բոլոր չորս անկյունները։

45°, 135°, 45°, 135°

20. Երկու ուղիղներ հատվում են երրորդ ուղիղով։ Միակողմանի ներքին անկյունները հավասար են 2x+20∘ և 4x+10∘։

ա) Գտի՛ր x-ը, եթե առաջին երկու ուղիղները զուգահեռ են։

x = 25

բ) Գտի՛ր այդ երկու անկյունների չափերը։

Առաջին անկյուն՝ 2(25) + 20 = 70°
Երկրորդ անկյուն՝ 4(25) + 10 = 110°

21.Բացատրի՛ր, թե ինչու երկու ուղիղների՝ չհատվելը դեռ չի նշանակում, որ դրանք զուգահեռ են։

Երկու ուղիղների չհատվելը նշանակում է զուգահեռություն միայն այն դեպքում, երբ դրանք գտնվում են նույն հարթության մեջ: Եթե ուղիղները տարբեր հարթություններում են և չեն հատվում, դրանք կոչվում են խաչվող ուղիղներ (օրինակ՝ սենյակի հատակի գիծը և առաստաղի՝ իրեն չզուգահեռ գիծը):

22.Ուղղանկյունանիստի ABCD A₁B₁C₁D₁ գագաթներով դիտարկիր AB և CC₁ ուղիղները։ Որոշի՛ր դրանց փոխդասավորությունը։

AB և CC₁ ուղիղները խաչվող ուղիղներ են: Դրանք չեն գտնվում նույն հարթության մեջ, չեն հատվում և զուգահեռ չեն:

Իրական թվի n-րդ աստիճանի արմատ

1. Հաշվել՝

-3

2. Հաշվել՝

5

3. Հաշվել՝

-1

4. Պարզեցնել՝

5

5. Պարզեցնել՝

5³V2

6. Պարզեցնել՝

0

7. Պարզեցնել՝

3⁵√3

8. Հաշվել՝

23/12

9. Հաշվել՝

1

10. Պարզեցնել՝

եթե x<0, y>0։

x²y

11. Պարզեցնել՝

եթե a,b∈R։

2a²|b|

12. Պարզեցնել՝

եթե x<0, y<0։

−2x²y

13. Գտնել x-ը՝

x = 14

14. Գտնել x-ը՝

x = 10

15. Գտնել x-ը՝

x ≈ 2.521

x = −34/3

16. Լուծել՝

2.521

17. Լուծել՝

x = 17

18. Լուծել՝

x = ±∛12

19. Համեմատել՝

⁶√20 < ∛5

1. Հաշվել. √49 , ³√125 , ⁴√81

√49 = 7
³√125 = 5
⁴√81 = 3

2. Հաշվել. ³√(-64) , ⁵√(-32) , ⁶√64

³√(-64) = -4
⁵√(-32) = -2
⁶√64 = 2

3. Գտնել x -ը. x³ = 216

x = 6

4. Գտնել x -ը. x⁴ = 625

x = 5 կամ x = -5

5. Որոշել՝ արտահայտությունը իրական թիվ է, թե ոչ. √(-16) , ³√(-16) , ⁴√(-81)

√(-16) — Իրական թիվ չէ
³√(-16) — Իրական թիվ է
⁴√(-81) — Իրական թիվ չէ

6. Հաշվել՝ կիրառելով արմատի հատկությունները. √(144 · 25)

60

7. Հաշվել. ³√(8 · 27 · 125)

30

8. Պարզեցնել. √72

6√2

9. Պարզեցնել. ³√54

3³√2

10. Պարզեցնել. ⁴√80

2⁴√5

11. Պարզեցնել. √18 + √50 — √8

6√2

12. Պարզեցնել. ³√16 + ³√54 — ³√2

4³√2

13. Պարզեցնել՝ հաշվի առնելով x -ի նշանը. √x² , ⁴√x⁴ , ³√x⁶

√x² = |x|
⁴√x⁴ = |x|
³√x⁶ = x²

14. Պարզեցնել. ⁴√x⁸

x²

15. Պարզեցնել. ³√(27x⁶)

3x²

16. Հաշվել. ³√(64/125)

4/5

17. Հաշվել. ⁴√(81/16)

3/2

18. Գտնել x -ը. ³√(x — 1) = 4

x = 65

19. Գտնել x -ը. ⁴√(2x — 3) = 3

x = 42